Inégalité de Jensen :

• \(X\) est une Variable aléatoire qui possède une Espérance
• \(\phi\) est une fonction convexe

$$\Huge\iff$$

• $$\phi({\Bbb E}[X])\leqslant{\Bbb E}[\phi(X)]$$
• si \(\phi\) est strictement convexe, alors on a égalité si et seulement si \(X\) est constante

Espérance

Questions de cours

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Ecrire l'inégalité de Jensen sous forme intégrale.
Verso: $$\begin{align}& f:\Omega\to{\Bbb R}^n\text{ intégrable, }g:{\Bbb R}^n\to{\Bbb R}\text{ convexe, }\mu\text{ mesure de probabilité sur }\Omega\\ &\implies\qquad g\left(\int_\Omega f\,d\mu\right)\leqslant\int_\Omega g\circ f\,d\mu \end{align}$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END

Démontrer :

On considère un minorant affine de \(g\).

Sa composée avec \(f\) est toujours intégrable d'après l'Inégalité de Cauchy-Schwarz.

On peut donc développer l'inégalité en utilisant la linéarité de l'intégrale et le fait que \(\mu\) est une Mesure de probabilité.

On conclut en passant au \(\sup\).

START
Ω Basique (+inversé optionnel)
Recto: Donner un corollaire important de l'inégalité de Jensen.
Verso: Si \(X\) est de mesure finie, alors :$$p\leqslant q\implies\Big( L^p(X,\mu)\supset L^q(X,\mu)\quad\text{ et }\quad \lVert f\rVert_p\leqslant\lVert f\rVert_q\Big)$$
Bonus:
Carte inversée ?: y
END

Démontrer :

On utilise l'Inégalité de Jensen avec \(x\mapsto \lvert x\rvert^{q/p}\).